LOGIKA MATEMATIKA
Pernyataan : kalimat yang tertutup yang hanya memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah
Dasar empiris : menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari
Dasar tak empiris : menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika
Kalimat terbuka : kalimat yang belum pasti nilai kebenarannya karena memuat variabel
Ingkaran atau negasi :
Jika P adalah pernyataan yang bernilai benar, maka ~P bernilai salah
Jika P adalah pernyataan yang bernilai salah, maka ~P bernilai benar
P ~P
B
S S
B
Disjungsi : pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan P dan Q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau” P Q
Disjungsi eksklusif : memisahkan
Disjungsi inklusif : mencakup
Disjungsi bernilai benar jika kedua pernyataan bernilai benar atau salah satu pernyataan tunggalnya bernilai benar
Disjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah
P Q P Q
B
B
S
S B
S
B
S B
B
B
S
Konjungsi : pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan P dan Q yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “dan” P Q
Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai benar
Konjungsi bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah satu pernyataan tunggalnya bernilai salah
P Q P Q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
S
Implikasi : pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan P dan Q dalam bentuk “jika P maka Q” P Q
Suatu implikasi bernilai salah jika P benar dan Q salah. Dalam kemungkinan lainnya, dia dinyatakan benar
P Q P Q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
B
B
Biimplikasi : P Q
P Q benar jika (P) = (Q)
P Q salah jika (P) ≠ (Q)
P Q P Q
B
B
S
S B
S
B
S B
S
S
B
Pernyataan majemuk : pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika
Tautologi : sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya
Implikasi logis : sebuah tautologi yang memuat pernyataan implikasi
Tautologi yang berbentuk P Q dinamakan ekuivalen logis dan dituliskan dengan lambang P Q
Dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya
Pernyataan majemuk yang ekuivalen :
Q P disebut konvers dari implikasi P Q
~P ~Q disebut invers dari implikasi P Q
~Q ~P disebut kontraposisi dari implikasi P Q
P Q ~Q ~P artinya implikasi ekuivalen dengan kontraposisi
Q P ~P ~Q artinya konvers dari implikasi ekuivalen dengan invers dari implikasi tersebut
P Q Ingkaran Implikasi konvers Invers Kontraposisi
~P ~Q P Q Q P ~P ~Q ~Q ~P
B
B
S
S B
S
B
S S
S
B
B S
B
S
B B
S
B
B B
B
S
B B
B
S
B B
S
B
B
Ekuivalen
P Q ~P Q
P Q (~P Q) (~Q P)
Ingkaran dari disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi
~(P Q) ~P ~Q
~(P Q) ~P ~Q
~( P Q) P ~Q
~( P Q) (P ~Q) (Q ~P)
Sifat komutatif, assosiatif dan distributif pada disjungsi dan konjungsi
Komutatif : P Q Q P dan P Q Q P
Assosiatif : (P Q) R P (Q R) dan (P Q) R P (Q R)
Distributif :
• Disjungsi ke konjungsi : P (Q R) (P Q) (P R)
• Konjungsi ke disjungsi : P (Q R) (P Q) (P R)
Kuantor universal : x, x A x B
Pernyataan berkuantor universal : “semua A adalah B” ekuivalen dengan pernyataan implikasi “jika x A, maka x B”
Kuantor eksistensial : x, x A dan x B
Pernyataan berkuantor eksistensial : ”beberapa A adalah B” ekuivalen dengan “sekurang-kurangnya ada sebuah x A yang merupakan anggota B”
Ingkaran dari pernyataan berkuantor universal : ~[ x, P(x)] x, ~P(x)
Ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial : ~[ x, P(x)] x, ~P(x)
Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya juga benar
Modus ponens (pengasingan) :
Premis 1 :
Premis 2 : P Q
P
konklusi : Q
Modus tollens (penolakan akibat) :
Premis 1 :
Premis 2 : P Q
~Q
konklusi : ~Q
Silogisme :
Premis 1 :
Premis 2 : P Q
Q R
konklusi : P R
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
Pangkat
an = a x a x ... x a ; a = bilangan pokok/basic/basis
n (bilangan asli >1) = pangkat/eksponen
Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat dan nol
am x an = am+n
am : an = am-n
a0 = 1, a ≠ 0
sifat pemangkatan bilangan berpangkat
(am)n = amxn
(a x b)n = an x bn
(a : b)n = an : bn
a-n = ; an =
(a – b)n = (b – a)n ; n : bil. genap
(a – b)n = - (b – a)n ; n : bil. ganjil
Akar
bn = a b = =
a > 0, maka 0
a < 0,
• n ganjil, maka < 0
• n genap, maka bukan bilangan real
Sifat-sifat bentuk akar
P Q = (P Q)
( )( ) = a – b
= a + b 2
Bentuk-bentuk akar sekawan
sekawan dengan -
(a + ) sekawan dengan (a - )
( + ) sekawan dengan ( - )
Logaritma
Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan pokok p, maka berlaku :
plog a = n pn = a ; a > 0, p > 0 dan p ≠ 1
Jika 0 < log x < 1, maka 1 < x < 10
Sifat-sifat logaritma
plog 1 = 0 p0 = 1
plog p = 1 p1 = p
pn = pn plog pn = n
plog (a x b) = plog a + plog b
plog (a : b) = plog a - plog b
alog an = n
plog 1 = 0
plog an = n plog a = n
plog a =
plog a ∙ alog q = plog q
plog a =
p plog a = a
FUNGSI KUADRAT
Menggambar grafik fungsi
Langkah-langkahnya :
Tentukan titik potong terhadap sumbu X (y = 0)
Tentukan titik potong terhadap sumbu Y (x = 0)
Perhatikan koofisien x2, yaitu a.
• a > 0 : grafik terbuka ke atas ;
di sebelah kiri sb. Y (b > 0) ; di sebelah kanan sb. Y (b < 0)
• a < 0 : grafik terbuka ke bawah ;
di sebelah kiri sb. Y (b < 0) ; di sebelah kanan sb. Y (b > 0)
Menentukan nilai diskriminan D
• D = 0 : grafik menyinggung sumbu X
• D > 0 : grafik memotong sumbu X pada dua titik
• D < 0 : grafik tidak memiliki titik potong dengan sumbu X
Tentukan koordinat titik puncak (x0,y0) dengan x0 = dan y0 =
Menentukan rumus fungsi kuadrat
Langkah-langkahnya :
Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di (x1,0) dan (x2,0), serta melalui sebuah titik tertentu, fungsi kuadratnya : f(x) = a (x – x1) (x – x2), a ditentukan kemudian
Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak (P,Q) dan melalui sebuah titik tertentu, fungsi kuadratnya : f(x) = a (x – P)2 + Q, a ditentukan kemudian
Titik puncak / titik balik / titik ekstrim :
a > 0, titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas
a < 0, titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah
Persamaan sumbu simetri (absis) : x =
Nilai maksimum / minimum (ordinat) =
RELASI, FUNGSI KOMPOSISI, DAN FUNGSI INVERS
Definisi Fungsi
Pandang A dan B merupakan dua himpunan tidak kosong. Jika beberapa unsur A berkaitan dengan beberapa unsur B sehingga diperoleh himpunan terurut (a,b), a A, b B, maka kaitan ini disebut relasi.
Jika setiap unsur A (disebut domain) berkaitan satu kali dengan unsur B (disebut kodomain), maka relasi ini disebut pemetaan yang menghasilkan suatu range (daerah hasil).
Sifat Fungsi
Jenis-jenis fungsi diklasifikasikan berdasarkan sifat korespondensi dan kesimetrian grafiknya.
Berdasarkan sifat korespondensi, fungsi dibagi atas :
Fungsi satu-satu (injektif), dengan syarat :
• Jika f(a) = f(b), maka a = b
• Jika f(a) ≠ f(b), maka a ≠ b, untuk a A dan b B
Fungsi pada (surjektif), dengan syarat : range = kodomain
Fungsi satu-satu dan pada (bijektif)
Berdasarkan kesimetrian grafik, fungsi dibagi atas :
Fungsi genap (simetri terhadap sumbu Y), dengan syarat : f(-x) = f(x)
Fungsi ganjil (simetri terhadap pusat koordinat O(0,0)), dengan syarat :
f(-x) = - f(x)
Bentuk Fungsi
Fungsi konstan
Bentuk umumnya : f(x) = c, dimana c suatu konstan dan grafiknya memotong sumbu Y
Fungsi linier
Bentuk umumnya : f(x) = ax + b, dimana a koefisien x, dan b konstan serta grafiknya memotong sumbu X dan sumbu Y
Fungsi kuadrat
Bentuk umumnya : f(x) = ax2 + bx + c, dimana a ≠ 0 koefisien x2, b koefisien x dan c konstan. Grafik berupa parabola dengan titik ekstrim
Fungsi trigonometri
Fungsi ini dibentuk oleh unsur-unsur goniometri sin, cos, tan, sec, cosec, dan cotan. Grafiknya selalu berupa lengkungan berperiodik
Fungsi eksponen dan logaritma
Bentuk umumnya : f(x) = ag(x) dan f(x) = alog g(x). Grafiknya berupa lengkungan yang curam
Fungsi rasional
Bentuk umumnya : f(x) = . Grafiknya berupa lengkungan yang dibatasi oleh garis asimtot
Fungsi Kuadrat
Komposisi dari fungsi f dan g dituliskan (g f) (x) = g(f(x))
Sifat-sifat fungsi komposisi
Umumnya tidak bersifat komutatif : (f g) (x) ≠ (g f) (x)
Bersifat assosiatif : (f (g h)) (x) = ((f g) h) (x)
Dalam fungsi komposisi terdapat unsur identitas, yaitu fungsi identitas I(x) = x yang memiliki sifat (f I) (x) = (I f) (x) = f(x)
Fungsi Invers
Invers dari fungsi f, ditulis f -1 merupakan balikan fungsi f
f(x) = axn + b f-1(x) =
f(x) = f-1(x) =
f(x) = f-1(x) = =
f(x) = abx+c f-1(x) =
f(x) = alog (bx+c) f-1(x) =
f(x) = f-1(x) =
(f -1 f) (x) = (f f -1) (x) = I(x)
Diketahui (f g) (x) dan f(x), maka untuk mencari g(x) :
Tentukan f-1(x)
g(x) = f-1(f g(x))
Diketahui (g f) (x) dan f(x), maka untuk mencari g(x) :
Tentukan f-1(x)
g(x) = f g(f-1(x))
Grafik fungsi f(x) dan grafik fungsi f -1 simetri terhadap garis y = x
Operasinya :
(f g) -1(x) = (g -1 f -1) (x) = g -1(f -1(x))
(g f) -1(x) = (f -1 g -1) (x) = f -1(g -1(x))
Rumus Praktisnya
Fungsi Invers
f(x) f-1(x)
Bentuk linear ax + b
Bentuk pecahan
Bentuk akar pangkat
Bentuk eksponen ax
apx alog x
alog x1/p
Bentuk logaritma alog x Ax
Bentuk fungsi kuadrat ax2 + bx + c
Note : Jika dalam pilihan belum ada jawabannya, maka lawankan semua tanda
Komposisi Fungsi
Jika f(x) = ax + b dan (f ο g) (x) = px + q, maka :
g(x) =
Jika f(x) = ax + b dan (f ο g) (x) = px2 + qx + r, maka :
g(x) =
f(ax + b) = px2 + qx + r, maka :
f(x) = f(ax + b)
diinverskan , kemudian masukkan ke persamaan awal
f(g(x)) = h(x), maka :
f(x) = h(g-1(x))
Grafik yang memiliki invers
Cirinya adalah jika dapat dibuat garis mendatar hanya memotong di satu titik (untuk satu harga y hanya menghasilkan satu harga x)
(1) Tidak mempunyai invers sebab dapat dibuat sebuah garis mendatar dan memotong pada kurva lebih dari satu titik
(2) Mempunyai invers sebab hanya memotong di satu titik
Menentukan Grafik Fungsi Suatu Kurva
Grafik fungsi y = f(x)
Jika ada garis lurus sejajar sumbu Y (vertikal) yang dapat dibuat dan memotong grafik tidak hanya di satu titik, maka grafik tersebut bukan grafik fungsi
Grafik fungsi x = f(y)
Jika ada garis lurus sejajar sumbu X (horizontal) yang dapat dibuat dan memotong grafik tidak hanya di satu titik, maka grafik tersebut bukan grafik fungsi
Gambar di bawah ini adalah grafik fungsi y = f(x) sebab jika dibuat vertikal akan memotong grafik di satu titik tetapi bukan grafik fungsi untuk x = f(y)
Banyaknya pemetaan
Banyaknya pemetaan/fungsi yang mungkin dapat dibuat dari himpunan A ke himpunan B adalah n(B)n(A) yang bebas
FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN
Grafik Fungsi Eksponen
Fungsi eksponen f(x) = ax di mana a > 0 dan a ≠ 1 mempunyai sifat-sifat berikut ini :
Definit positif karena kurva terletak di atas sumbu X
Memotong sumbu koordinat hanya di titik (0,1)
Mempunyai asimtot datar sumbu X (y = 0)
Jika a > 1, maka grafik monoton naik
Jika 0 < a < 1, maka grafik monoton turun
Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen
af(x) = 1, a > 0, a ≠ 1 maka f(x) = 0
af(x) = ap, a > 0, a ≠ 1 maka f(x) = p
af(x) = ag(x), a > 0, a ≠ 1 maka f(x) = g(x)
af(x) = bf(x), a > 0, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1 maka f(x) = 0
af(x) = bg(x), a > 0, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b, f(x) ≠ g(x) maka log af(x) = log bg(x)
af(x) + ag(x) = c
A(af(x))2 + B(af(x)) + C = 0, a > 0, a ≠ 1, A, B, C R, A ≠ 0
[h(x)]f(x) = [h(x)]g(x), f(x) ≠ g(x)
f(x) = g(x)
h(x) = 1
h(x) = 0, f(x) > 0, g(x) > 0
h(x) = -1, f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
a > 1
af(x) ag(x), maka f(x) g(x)
af(x) ag(x), maka f(x) g(x)
0 < a < 1
af(x) ag(x), maka f(x) g(x)
af(x) ag(x), maka f(x) g(x)
Sifat-sifat eksponen
am ∙ an = am+n
am : an = a m-n
(am)n = amn
a-m =
(am ∙ bn)p = amn ∙ bmn
(am : bn)p = amn : bmn
a0 = 1
, maka u(x) v(x)
, maka u(x) v(x)
x < a -a < x < a atau x a -a x a
x > a x < -a atau x > a dan x a x -a atau x a
x - y x - y
x + y x + y
x =
x ∙ y = x∙y
, y ≠ 0
FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Grafik Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma g(x) = alog x, di mana a > 0 dan dan a ≠ 1 mempunyai sifat-sifat berikut ini:
Terdefinisi untuk x > 0 (berada di sebelah kanan sumbu X)
Memotong sumbu koordinat hanya di titik (0,1)
Mempunyai asimtot tegak sumbu Y (x = 0)
Jika a > 1, maka grafik monoton naik
Jika 0 < a < 1, maka grafik monoton turun
Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma
Fungsi eksponen dan fungsi logaritma adalah dua fungsi yang saling invers
f(x) = ag(x), maka g(x) = alog f(x)
di mana : f(x) = fungsi eksponen
g(x) = fungsi logaritma
alog f(x) = alog p maka f(x) = p, syaratnya a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0, p > 0
alog f(x) = alog g(x) maka f(x) = g(x), syaratnya a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0, p > 0
alog f(x) = blog f(x), a ≠ b maka f(x) = 1
h(x)log f(x) = h(x)log g(x) maka f(x) = g(x), syaratnya f(x) = g(x) > 0, h(x) > 0,
h(x) ≠ 1
f(x)log a = g(x)log a maka f(x) = g(x), syaratnya f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0, g(x) ≠ 1
f(x)log g(x) = p maka g(x) = (f(x))p, syaratnya f(x) > 0, f(x) ≠ 1, g(x) > 0
A(alog x)2 + B(alog x) + C = 0
a > 1
alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x)
alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x)
alog f(x) y, maka f(x) ay
alog f(x) y, maka f(x) ay
0 < a < 1
alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x)
alog f(x) alog g(x), maka f(x) g(x)
alog f(x) y, maka f(x) ay
alog f(x) y, maka f(x) ay
Sifat-sifat logaritma
alog x = n, maka an = x
alog a = 1
alog an = n
alog 1 = 0
alog (x ∙ y) = alog x + alog y
alog (x : y) = alog x - alog y
alog xn = n alog x
alog = alog x
, b > 0, b ≠ 1
alog x ∙ xlog y = alog y
alog x ∙ xlog a = 1
= xlog a
alog x = alog y, maka x = y
alog b =
Rumus Praktisnya
alog x syaratnya a ≠ 0, a ≠ 1, a bilangan negatif (a 0 dan a ≠ 1), maka x ≠ 0, x bilangan negatif ( x 0)
alog b ∙ blog c ∙ clog d ∙ dlog e = alog e
;
;
Persamaan Kuadrat Logaritma
a ∙ log2 x + b ∙ log x + c = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka x1 ∙ x2 = 10-b/a
f(x) = glog b + glog c, maka fmax =
Fungsi Logaritma
Jika f(x) = glog x, maka :
f(a : b) = f(a) – f(b)
f(a ∙ b) = f(a) + f(b)
Jika f(x) = , maka : f(x) + f( ) = f(a) = -1
Pergeseran Grafik Fungsi Logaritma
Jika grafik y = alog x digeser n satuan
Ke atas : y = alog (anx)
Ke bawah : y = ( )
Ke kanan : y = (x – n)
Ke kiri : y = (x + n)
PERTIDAKSAMAAN
Sifat Pertidaksamaan
Jika a < b, maka berlaku :
a c < b c
ap > bp, untuk p < 0
ap < bp, untuk p > 0
a3 < b3
a ≠ 0 dan b ≠ 0, maka :
< 0, maka ab < 0
> 0, maka ab > 0
Jika a > b dan b > c, maka a> c
Jika a > b dan c > d, maka (a + c) > (b + d)
Jika a > b > 0 dan c > d > 0, maka ac > bd
Jika a > b > 0, maka a2 > b2 dan <
Jika b < a < 0, maka a2 < b2 dan <
Jenis-Jenis Pertidaksamaan
Pertidaksamaan kuadrat
Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0 dengan a positif, maka :
< 0 0 > 0 0
... < x < ... ... x ... x < ... atau x > ... x ... atau x ...
Pertidaksamaan rasional
Linier
Bentuk umum : dengan a dan c sama tanda, maka :
< 0 0 > 0 0
... < x < ... ... x ...
untuk akar penyebut tidak boleh memakai = x < ... atau x > ... x ... atau x ...
untuk akar penyebut tidak boleh memakai =
Kuadrat dan campuran
Bentuk umum : atau atau dengan a dan p sama tanda, maka :
• Faktorkan pembilang dan penyebut (kalau bisa)
• Tentukan x pembuat nol
• Masukkan ke garis bilangan, makin ke kanan makin membesar
• Tandai setiap ruas (+ atau -) mulai paling kanan tandanya (+)
• Pilih (+) jika > 0 atau 0 dan pilih (-) jika < 0 atau 0
• Tuliskan dalam notasi matematika
• Pembuat nol dari penyebut tidak boleh memakai =
Pertidaksamaan irrasional
Jika < c, maka 0 f(x) < c2
Jika < , maka 0 f(x) < g(x)
Pertidaksamaan Harga Mutlak
f(x) < a -a < f(x) < a
f(x) > a f(x) < -a atau f(x) > a
f(x) < g(x) (f(x))2 < (g(x))2
alog f(x) < b < f(x) < ab
Menalar pertidaksamaan
syarat f(x) > 0
xlog f(y) syarat x ≠ 0, x bil. negatif, x ≠ 1, f(y) ≠ 0, f(y) bil. Negatif
syarat b ≠ 0
Pilih suatu bilangan yang mudah dihitung (misalnya 0 atau 1) dari pilihan. Kemudian substitusikan ke soal. Jika keadaan menjadi salah, maka pilihan yang memuat bilangan tadi adalah salah. Cari pilihan-pilihan yang salah, maka akan ditemukan jawaban yang benar
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan yang mengandung akar, pecahana atau harga mutlak harus diperhatikan syarat penyelesaian ketentuan lainnya
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0 di mana a, b, c R, a ≠ 0
Penyelesaian persamaan kuadrat
Rumus abc
x1,2 =
Memfaktorkan
Bentuk ax2 + bx + c = 0 diubah menjadi bentuk (ax + p) (ax + q)
dengan p + q = b dan pq = ac, sehingga x1 = dan x2 =
Melengkapkan kuadrat sempurna
Bentuk ax2 + bx + c = 0 diubah menjadi bentuk (x + p)2 = q
dengan p = dan q = ( )2 – c, sehingga dengan mengakarkan kedua ruas diperoleh
x1 = -p + dan x2 = -p -
x1 + x2 =
x1 ∙ x2 =
Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dengan diskriminan D
D = 0 maka memiliki dua akar real sama (kembar), real, rasional
D > 0 maka memiliki dua akar real yang berlainan (x1 ≠ x2)
D < 0 maka tidak memiliki akar real (dua akar kompleks, imajiner, khayal)
D 0 maka memiliki dua akar real
D = k2 maka memiliki dua akar rasional
D ≠ k2 maka memiliki dua akar irrasional
D 0 dan x1 ∙ x2 = 1 maka memiliki dua akar berkebalikan
ax2 + bx + c = 0 merupakan persamaan kuadrat lengkap
ax2 + c = 0 merupakan persamaan kuadrat sempurna
ax2 + bx= 0 merupakan persamaan kuadrat tak lengkap
Akar-akarnya berlawanan (x1 = -x2) maka b = 0
Akar-akarnya berkebalikan (x1 = ) maka a = c
Sebuah akarnya sama dengan nol (x1 = 0) maka c = 0 dan x2 =
Kedua akarnya bertanda sama maka > 0
Kedua akarnya berlainan tanda maka < 0
Persamaan kuadrat baru
x2 – (x1 + x2) x + x1∙ x2 = 0
Membentuk persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2 adalah :
(x – x1) (x – x2) = 0 x2 – (x1 + x2) x + x1∙ x2 = 0
Pertidaksamaan kuadrat
Bentuk umumnya :
ax2 + bx + c < 0 atau ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c 0 atau ax2 + bx + c 0
dengan a, b, c R
Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut :
1. Ubah ke bentuk umum
2. Tentukan pembuat nol sebagai batas penyelesaian
3. Tentukan interval positif atau negatif sebagai interval penyelesaian
Rumus Praktisnya
Grafik Fungsi Kuadrat
f(x) = ax2 + bx + c
Pengaruh faktor a
Putarlah kurva 900 ke arah kiri
Pengaruh faktor b
• Kurva lebih berat di kanan sumbu Y, maka kurva putar 900 ke kanan
• Kurva lebih berat di kiri sumbu Y, maka kurva putar 900 ke kiri
• Kurva sama berat, b = 0
• Perhatikan arah panah
Pengaruh faktor c
• Bila kurva memotong sumbu Y di atas sumbu X, maka c > 0
• Bila kurva memotong sumbu Y di bawah sumbu X, maka c < 0
• Bila kurva melalui pangkal koordinat, maka c = 0
Jika cara-cara tersebut belum mampu menentukan jawabannya, maka masukkan koordinat-koordinat yang diketahui pada soal ke dalam pilihan
Sifat akar-akar persamaan kuadrat
x1 + x2 =
x1 ∙ x2 =
=
x1 – x2 = (positif)
= (positif)
x12 + x22 =
x12 – x22 = (positif)
x13 + x23 =
x13 – x23 =
x14 + x24 = [(x1 + x2)2 – 2(x1∙x2)]2 – 2(x1∙x2)2
x14 – x24 = (x12 – x22) ∙ (x12 + x22)
+ =
- =
x12x2 + x22x1 =
Sifat-sifat persamaan kuadrat
Bila akar-akarnya saling berlawanan ( x1 = -x2), syaratnya b = 0
Bila akar-akarnya saling berkebalikan (x1 = ), syaratnya a = c
Bila salah satu akarnya = 0, syaratnya c = 0
Bila kedua akarnya sama (x1 = x2), syaratnya x1 = x2 =
Perbandingan akar
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 dan x2 sedemikian sehingga harga x1 = k ∙ x2 , maka k = konstanta pembanding berlaku :
k ∙ b2 = (k + 1)2 ∙ ac
Selisih akar-akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar x1 = x2 + n, maka selisih akar D = (n ∙ a)2 dengan D = b2 – 4ac
Menyusun persamaan kuadrat baru
Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan ax2 + bx + c = 0
k kali (k ∙ x1 dan k ∙ x2) dari ax2 + bx + c = 0
ax2 + k ∙ bx + k2 ∙ c = 0 ; b dikalikan k dan c dikalikan k2
Akar-akar berkebalikan ( dan ) dari ax2 + bx + c = 0
cx2 + bx + a = 0 ; tukarkan a dan c
Akar-akar berlawanan (-x1 dan -x2) dari ax2 + k ∙ bx + k2 ∙ c = 0
ax2 – bx + c = 0 ; b dilawankan
Akar-akarnya x12 dan x22 dari ax2 + bx + c = 0
a2x – (b2 – 2ac)x + c2 = 0
Akar-akarnya x13 dan x23
a3x – (3abc – b3)x + c3 = 0
Akar-akarnya x1 + k dan x2 + k (k lebihnya dari)
a(x – k)2 + b(x – k) + c = 0
Akar-akarnya x1 – k dan x2 – k (k kurangnya dari)
a(x + k)2 + b(x + k) + c = 0
Akar-akarnya dan
acx2 – (b2 – 2ac)x + ac = 0
Akar-akarnya dan
c2x2 – (b2 – 2ac)x + a2 = 0
Akar-akarnya x1 + x2 dan x1 – x2
a2x2 + (ab – ac)x – bc = 0
Akar-akarnya sama, misalnya 2x1 – 3 dan 2x2 – 3
2x1 – 3 = y x = , setelah itu substitusikan x ke persamaan kuadrat
Tanda-tanda akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0
Kedua akar positif jika D 0 ; -ab > 0 ; ac > 0
Kedua akar negatif jika D 0 ; -ab < 0 ; ac > 0
Kedua akar berbeda tanda D > 0 ; ac < 0
Kedua akarnya sama jika D = 0
Jika dua persamaan kuadrat memiliki akar-akar persekutuan, maka cara penyelesaian paling cepat yaitu dengan mengeliminasi x2
Kuadrat ganda
r =
Persamaan kuadrat ganda mempunyai akar-akar dimana harga akarnya ditentukan oleh harga r
D2r – (2b1b2 – 4(a1c1 + a2c2))r + D1 = k
k > 0 , persamaan kuadrat ganda memiliki dua akar yang berlainan
k = 0, persamaan kuadrat ganda memiliki dua akar kembar
k < 0, persamaan kuadrat ganda tidak memiliki akar
• D1 = diskriminan a1x2 + b1x + c1
• D2 = diskriminan a2x2 + b2x + c2
Hubungan parabola dengan garis
y =
n = perbandingan
PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNGNYA
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dan berjari-jari r :
x2 + y2 = r2
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P (a,b) dan berjari-jari r :
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Bentuk umum persamaan lingkaran :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
pusatnya : P ( , ) dan jari-jari : r =
Persamaan garis singgung lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x1 x + y1 y + (x + x1) + (y + y1) + C = 0
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 dan bergradien m y – b = m (x – a) r
Lingkaran dengan pusat (x1,y1) menyinggung garis Ax + By + C = 0, maka :
r =
PERSAMAAN GARIS
Persamaan garis melalui 2 titik K(x1,y1) dan L(x2,y2)
Ay = Bx + (P – Q)
Catatan : x1 – x2 = A
y1 – y2 = B
Diketahui grafiknya
Cara kali :
bx + ay = ab
Cara bagi :
Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2)
Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan gradien m
y = m(x – x1) + y1
Persamaan garis melalui titik M(x3,y3) dan tegak lurus dengan garis yang melalui titik K(x1,y1) dan L(x2,y2)
Ax + By = Ax3 + By3
Persamaan garis yang melalui (a,b) sejajar dengan Ax + By + C = 0
Ax + By = Aa + Bb
Persamaan garis yang melalui (a,b) tegak lurus dengan Ax + By + C = 0
Bx – Ay = Ba – Ab
Persamaan garis yang melalui (0,a) dan (b,0)
ax + by = ab
Mencari gradien dari :
Garis ax + by = c, maka m =
Garis ay = bx + c, maka m =
Titik (x1, y1) dan (x2, y2)
• Sejajar : m =
• Tegak lurus : m =
Gradien garis yang membentuk sudut :
Terhadap sumbu X positif : m = tan
Terhadap sumbu Y positif : m = cot
Diketahui 2 garis : ax + by = c dan
px + qy = r,
maka :
Kedua garis saling sejajar : aq = bp
Kedua garis tegak lurus : ap + bq = 0
Mencari titik potong garis g : y = m1x + c1 dan h : y = m2x + c2
x = ; y =
Efisiensi untuk mencari x dan y jika m dan c bilangan bulat
Jarak titik A(x1,y1) dengan garis ax + by + c = 0
d =
Jarak dua buah garis yang sejajar antara ax + by + c1 = 0 dengan ax + by + c2 = 0
d =
Tiga buah titik dalam satu garis : (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3)
=
Jika garis ax + by + c = 0 digeser k ke :
kanan a(x – k) + by + c = 0
kiri a(x + k) + by + c = 0
atas ax + b(y – k) + c = 0
bawah ax + b(y + k) + c = 0
Sudut antara 2 garis, y = ax + b dan y = px + q
tan =
Bentuk 2 variabel
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan metode Cramer :
x1 = dan y1 = , dimana = ad – bc
Bentuk 3 variabel
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
dengan metode Cramer :
x1 = ; y1 = ; dan z1 = , dimana
= a - b + c
MATRIKS
Matriks persegi : n x n
Matriks segitiga bawah : A =
Matriks segitiga atas : B =
Matriks diagonal : C =
Matriks skalar : D =
Matriks identitas : E =
Matriks simetris : F =
F12 = F21 = 3 ; F13 = F31 = 5 ; F23 = F32 = 7
Diagonal utama (trace)
A2 = , trace A = 3 + 5 = 8
Transpose (putaran)
Sifat-sifatnya :
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A – B ≠ B – A
(A – B) – C ≠ A – (B – C)
A + 0 = 0 + A, 0 = elemen identitas penjumlahan
A + (-A) = (-A + A), -A = invers penjumlahan A
A + X = B maka X = (-A) + B
A B = AT BT di mana A, B adalah matriks simetris
(k1 + k2) A = k1A + k2A
k (A + B) = kA + kB
(k1k2) A = k1 (k2 A) = k2 (k1A)
I A = A
(-1) A = -A
0 ∙ A = k ∙ 0 = 0 (matriks nol)
(AB) C = A (BC)
A (B C) = AB AC
(B C) A = BA CA
k (BC) = (kB) C = B (kC), k R
(A + B)T = AT + BT
(AT)T = A
(AB)T = BT AT
(kA)T = kAT
Determinan dan invers matriks
Determinan matriks A = adalah det A = A = = ad – bc
Determinan matriks A = adalah det A =
Sifat – sifat determinan
• Det (AB) = Det (A) ∙ Det (B)
• Det (mA) = m2 ∙ Det (A)
• Det (AT) = Det (A)
• Det ( A) = ∙ Det (A)
• Det (A-1) =
• Det (I) = 1
Invers matriks A = adalah A-1 = ; (ad – bc) ≠ 0
Invers matriks A = adalah A-1 = ; dengan
ij = (-1)i+j ∙ , dimana Mij = minor ij
M11 = , M21 = , dan seterusnya.
Apabila A = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan disebut matriks singular. Apabila A ≠ 0, maka matriks A mempunyai invers dan disebut matriks nonsingular.
Sifat-sifat invers matriks : AA-1 = A-1A = I
AA-1 = A-1A = I
XA = B maka X = BA-1
AX = B maka X = A-1B
(AB)-1 = B-1A-1
A-n = (A-1)n
VEKTOR
Panjang vektor a
Pada R2
a = = a1i + a2j maka a =
Pada R3
a = = a1i + a2j + a3k maka a =
Sifat-sifat operasi hitung pada vektor
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
a + (-a) = 0
k (Ia) = (kI) a
k (a + b) = ka + kb
(k + I) a = ka + Ia
1a = a
Perkalian titik (dot product) dua vektor
a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k, maka :
a ∙ b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Perkalian silang (cross product) dua vektor
a x b = atau = ∙ sin
Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor
a ∙ b = b ∙ a
a (b + c) = ab + ac
k (ab) = (ka) b = a (kb)
a ∙ a = a2
Sudut antara dua vektor
cos = sehingga a ∙ b = abcos
Sifat-sifat aljabar vektor
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
1 ∙ a = a
a + b a+b
a - b a-b
m ∙ a = m∙a
(mn) ∙ a = m (n ∙ a) = n (m ∙ a)
Jika m ∙ a = 0, maka m = 0 atau a = 0
(-m ∙ a) = - (m ∙ a) = m (- a)
(m + n) ∙ a = m ∙ a + n ∙ a
m (a + b) = m ∙ a + m ∙ b
a + (-1) ∙ a = a – a = 0
a2 = a2
a + b2 = a2 + b2 + 2abcos
a - b2 = a2 + b2 - 2abcos
Vektor posisi
Jika diketahui titik-titik O(0,0,0) dan A(a1,a2,a3) serta B(b1,b2,b3), maka OA dan OB merupakan vektor posisi.
Jika kemudian terdapat titik P pada ruas AB sehingga AP : PB = m : n, maka akan berlaku :
• OP =
• P =
Jika titik P berada pada perpanjangan AB dengan AB : BP = m : n, maka :
• OP =
• P = = , dengan r = panjang AP
Proyeksi
Panjang proyeksi vektor a pada vektor b (proyeksi skalar)
c =
Vektor proyeksi dari vektor a pada vektor b (proyeksi vektor)
c =
Hubungan dua vektor
Diketahui dua buah vektor a = dan b = , maka hubungan kedua vektor ada beberapa kemungkinan, yaitu :
Vektor a sama dengan vektor b, maka a1 = b1, a2 = b2, dan a3 = b3
Vektor a tegak lurus dengan vektor b, maka a ∙ b = 0
Vektor a segaris, sejajar, atau kolinier dengan vektor b, maka a = k ∙ b
Vektor c koplanar dengan a dan b, maka terdapat bilangan riil m dan n sehingga c = m ∙ a + n ∙ b
Secara geometri, perkalian silang vektor dapat digambarkan sebagai berikut :
Perkalian = ∙ sin merupakan luas daerah yang diarsir.
Jadi, untuk mencari luas segitiga yang dibatasi oleh dua buah vektor gunakan rumus : = ½ = ½ ∙ sin
Untuk mencari titik tengah dari suatu garis yang diketahui kedua titik ujungnya adalah : T = ½ (A + B)
Untuk mencari titik berat suatu segitiga yang diketahui ketiga titik sudutnya adalah : T = (A + B + C)
Dalam segitiga ABC dengan D merupakan titik beratnya, maka berlaku hubungan berikut :
• AD = AP, dan DP = AP, AP garis berat yang ditarik dari A
• CD = CR, dan DR = CR, CR garis berat yang ditarik dari C
• BD = BQ, dan DQ = BQ, BQ garis berat yang ditarik dari B
TRANSFORMASI GEOMETRI
Translasi
Suatu translasi T dengan vektor translasi mentransformasikan titik P ke P’, secara pemetaan dapat dituliskan : T : P (x,y) P’ (x+a,y+b)
Refleksi (pencerminan)
Terhadap sumbu X : (x,-y) :
Terhadap sumbu Y : (-x,y) :
Terhadap titik asal : (-x,-y) :
Terhadap garis y = x : (y,x) :
Terhadap garis y = -x : (-y,-x) :
Terhadap garis x = k : (2k-x,y) : +
Terhadap garis y = k : (x,2k-y) : +
Terhadap titik (a,b) : (2a-x,2b-y)
Rotasi
R900 = : (-y,x)
R-900 = : (y,-x)
R1800 = : (-x,-y)
R =
Jika titik A (a,b) dirotasikan sebesar dengan titik pusat O maka akan diperoleh :
A’ = =
Jika titik A (a,b) dirotasikan sebesar dengan titik pusat P (m,n) maka akan diperoleh :
A’ = = +
Dilatasi
Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P dituliskan : [P,k]
Jika pusat dilatasi pada titik O (0,0), hubungannya :
x’ = kx
y’ = ky
Jika [P,k] : A (x,y) A’ = (x’,y’) terdapat hubungan :
x’ = a + k (x – a)
y’ = b + k (y – b)
Transformasi matriks
Suatu transformasi dapat diwakili oleh suatu matriks 2x2. Bayangan titik A (a,b) oleh transformasi yang diwakili oleh matriks M adalah A’ = = M
Komposisi Transformasi
Komposisi translasi (bersifat komutatif adan assosiatif)
T1 = ; T2 = , maka : (T1T2) = T1 (T2 )
Komposisi refleksi
Dua refleksi terhadap dua garis sejajar
• Mx=p Mx=q ; Mx=q Mx=p
• My=p My=q ; My=q My=p
Dua refleksi terhadap dua garis yang saling tegak lurus
• Mx=p My=q R((p,q),1800)
• Mx=p My=q M(p,q)
Komposisi refleksi tidak bersifat komutatif dan assosiatif
Komposisi rotasi
Komposisi dua rotasi yang berpusat sama akan ekuivalen dengan rotasi dengan pusat sebesar penjumlahan kedua sudut rotasinya
Luas Daerah Bangun Hasil Transformasi
Oleh transformasi dengan matriks operator A = , maka luasnya :
L’ = det.A ∙ L
L’ = luas hasil transformasi ; L = luas semula
Untuk segitiga, misalkan diketahui segitiga P (0,0), Q (x1,y1), dan R (x2,y2)
LPQR =
Jika ditransformasikan oleh matriks A = , maka akan menjadi segitiga P’Q’R’ :
LPQR = det ∙ LPQR = ∙ LPQR
Tanda + atau – dipilih berdasarkan hasil perhitungan luas segitiga P’Q’R’ positif.
Jika det. A bertanda positif, maka urutan P Q R dan P’ Q’ R’ sama, yaitu searah dengan putaran jarum jam atau keduanya tidak searah jarum jam
Jika det. A bertanda negatif, maka urutan P Q R dan P’ Q’ R’ tidak sama, yaitu keduanya mempunyai urutan berbeda
BARISAN DAN DERET
Barisan aritmatika
Un = a + (n – 1) b
Deret aritmatika
Sn = (2a + (n – 1) b) atau Sn = (a + Un)
Suku tengah barisan aritmatika
Ut = a + (n – 1) b atau Ut = (a + Un)
Sisipan barisan aritmatika
Antara A dan B disisip k bilangan dengan b = B – A, maka :
bbaru = ; nbaru = k + 2 ; Sbaru =
Barisan geometri
Un = arn-1
Deret geometri
Sn = , r < 1
Sn = , r > 1
Suku tengah barisan geometri
Ut = atau Ut =
Sisipan barisan geometri
Antara A dan B disisip k bilangan dengan r = , maka :
rbaru = ; nbaru = k + 2 ; Sbaru =
Deret tak hingga
Deret geometri konvergen (memusat)
Jika -1 < r < 1, maka S =
Deret geometri divergen (memencar)
Jika r < -1atau r > 1, maka S =
Jumlah suku bernomor ganjil :
Sganjil =
Jumlah suku bernomor genap :
Sgenap =
Un = Sn – Sn-1
Notasi sigma
Untuk deret aritmatika dan deret tertentu lainnya dapat disajikan dalam bentuk notasi sigma, yaitu :
Bilangan asli (1, 2, 3, ...)
Un = n ; An =
Kuadrat bilangan asli (1, 4, 9, ...)
Un = n2 ; Kn =
Kubik bilangan asli (1, 8, 27, ...)
Un = n3 ; Qn = = (An)2
Bilangan persegi panjang (1x2, 2x3, 3x4, ...)
Un = n (n + 1) ; Rn =
Bilangan balok (1x2x3, 2x3x4, 3x4x5, ...)
Un = n (n +1) (n + 2) ; Bn =
Bilangan segitiga (1, 1+2, 1+2+3,1+2+3+4, ...)
Un = ; Tn =
Rumus Praktisnya
Suku ke n1 = k1
Jumlah suku ke n2 dan n3 = k3
U1 = k1 n1 = m1
U2 + U3 = k2 n2 + n3 = m2
b =
Sn = pn2 + qn Un = 2pn + (q – p)
Un = pn + q Sn = n2 + (q + )n
Sisi-sisi segitiga siku-siku yang membentuk deret aritmatika memiliki kelipatan 3, 4, 5
Jika a, b, c, d, e membentuk deret aritmatika, maka :
suku tengah = rata-rata suku simetrisnya
misal : c = = ; b = atau d =
Apabila di antara 2 suku deret aritmatika disisipkan k suku, maka :
b = ; Un = U1 + (n – 1)b
Sn = (2U1 + (n – 1)b ; n = n + (n – 1)k
n1 = k1 dan n2 = k2, maka
a, b, c, d, e adalah deret geometri berlaku kuadrat suku tengah sama dengan hasil kali suku-suku simetrisnya
c2 = bd atau c2 = ae atau b2 = ac atau b2 = ce
Akan mempunyai jumlah (konvergen atau memiliki limit) jika :
r < 1 -1 < r < 1
Tidak mempunyai jumlah (divergen) jika :
r > 1 r < -1 atau r > 1
Deret logaritma
alog b + alog2 b + alog3 b + ... = a/blog b
Deret bujur sangkar
rasio deret luas =
rasio deret keliling =
Deret segitiga sama sisi
rasio deret luas =
rasio deret keliling =
Panjang lintasan bola jatuh
S =
= x
=
=
=
=
TRIGONOMETRI
Besarnya derajat dalam 1 putaran
1 putaran = 3600, maka 10 = putaran
10 = 60 menit = 60, maka 1 =
1 = 60 detik = 60, maka 1 =
1 rad = rad = 1800, Sehingga :
• 1 rad = = = 57,2960
• 10 = rad = rad = 0,017453 rad
sin =
cos =
tan =
cosec = =
sec = =
cot = =
Nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa
Fungsi trigononometri Sudut
00 300 450 600 900
sin 0 ½ ½
½
1
cos 1 ½
½
½ 0
tan 0
1
cosec 2
1
sec 1
2
cot
1
0
II
sin (+) I
semua (+)
III
tan (+) IV
cos (+)
(900 - ) (900 + )
sin (900 - ) = cos sin (900 + ) = cos
cos (900 - ) = sin cos (900 + ) = -sin
tan (900 - ) = cot tan (900 + ) = -cot
cosec (900 - ) = tan cosec (900 + ) = -tan
sec (900 - ) = cosec sec (900 + ) = -cosec
cot (900 - ) = sec cot (900 + ) = sec
(1800 - ) (1800 + )
sin (1800 - ) = sin sin (1800 + ) = -sin
cos (1800 - ) = -cos cos (1800 + ) = -cos
tan (1800 - ) = -tan tan (1800 + ) = tan
cosec (1800 - ) = -cot cosec (1800 + ) = cot
sec (1800 - ) = -sec sec (1800 + ) = -sec
cot (1800 - ) = cosec cot (1800 + ) = -cosec
(2700 - ) (2700 + )
sin (2700 - ) = -cos sin (2700 + ) = -cos
cos (2700 - ) = -sin cos (2700 + ) = sin
tan (2700 - ) = cot tan (2700 + ) = -cot
cosec (2700 - ) = tan cosec (2700 + ) = -tan
sec (2700 - ) = -cosec sec (2700 + ) = cosec
cot (2700 - ) = -sec cot (2700 + ) = -sec
(n∙3600 - ) (n∙3600 + )
sin (n∙3600 - ) = -sin sin (n∙3600 + ) = sin
cos (n∙3600 - ) = cos cos (n∙3600 + ) = cos
tan (n∙3600 - ) = -tan tan (n∙3600 + ) = tan
cosec (n∙3600 - ) = -cot cosec (n∙3600 + ) = cot
sec (n∙3600 - ) = sec sec (n∙3600 + ) = sec
cot (n∙3600 - ) = -cosec (n∙3600 + ) = cosec
sin (-) = -sin
cos (-) = cos
tan (-) = -tan
cosec (-) = -cot
sec (-) = sec
cot (-) = -cosec
sin2 + cos2 = 1
sec2 = 1 + tan2
cosec2 = 1 + cot2
Persamaan trigonometri
sin x = sin x = + k∙3600 = (1800 - ) + k∙3600
sin x = sin A x = A + 2k = ( - A) + 2k
cos x = cos x = + k∙3600
sin x = sin A x = A + 2k = -A + 2k
tan x = tan x = + k∙3600
tan x = tan A x = A + k
Aturan sinus
Aturan cosinus
a2 = b2 + c2 – 2bc ∙ cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac ∙ cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab ∙ cos C
cos A + cos B + cos C =
Luas segitiga sembarang
L = x alas x tinggi
Jika tinggi segitiga tidak diketahui, maka pergunakanlah rumus berikut :
• L = ab ∙ sin C
• L = ac ∙ sin B
• L = b ∙ sin A
• L =
• L =
• L =
• L =
dengan s = (a + b + c)
Jari-jari lingkaran
Lingkaran dalam segitiga
RD =
Lingkaran luar segitiga
RL =
Lingkaran singgung
RS = , jika lingkaran menyinggung garis c
Rumus penjumlahan dan selisih dua sudut
sin ( ) = sin cos cos sin
cos ( ) = cos cos cos cos
tan ( ) =
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos2 - sin2 = 1 – 2 sin2 = 2 cos2 – 1
tan 2 =
sin 3 = 3 sin – 4 sin3 - 4
cos 3 = 4 cos3 - 3 cos
tan 3 =
Rumus jumlah dan selisih sinus, cosinus, dan tangen
sin + sin = 2 sin ( + ) cos ( - )
sin - sin = 2 cos ( + ) sin ( - )
cos + cos = 2 cos ( + ) cos ( - )
cos - cos = -2 sin ( + ) sin ( - )
tan tan = =
Rumus perkalian sinus dan cosinus
2 cos cos = cos ( + ) + cos ( - )
2 sin sin = cos ( - ) - cos ( + )
2 sin cos = sin ( + ) + sin ( - )
2 cos sin = sin ( + ) - sin ( - )
sin2 nx = (1 – cos 2nx)
cos2 nx = (1 + cos 2nx)
arc cosec x = arc sin
arc sec x = arc cos
arc cot x = arc tan
arc sin (-x) = -arc sin x
arc cos (-x) = - arc cos x
arc tan (-x) = -arc tan x
arc cot (-x) = - arc cot x
arc sec (-x) = - arc sec x
arc cosec (-x) = -arc cosec x
arc sin x + arc cos x =
arc tan x + arc cot x =
arc sec x + arc cosec x =
Rumus Praktisnya
Pergeseran fungsi
y = F(x a) k
keterangan : y = persamaan grafik
F = fungsi sin, cos, tan ; a = sudut pergeseran
x = sudut pokok ; k = konstanta pergeseran
perubahan tanda arah pergeseran
a < 0
a > 0
k < 0
k > 0 -
+
-
+ ke kanan
ke kiri
ke bawah
ke atas a0
a0
k
k
Mencari harga maksimum atau minimum
y = A sin px + c = A cos px + c
ymaks = A + c ; ymin = -A + c
periode =
f(x) = a cos x + b sin x + c = k cos (x - ) + c
k = ; tan =
f(x)maks = k + c ; f(x)min = -k + c
LIMIT FUNGSI
Limit fungsi aljabar
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) sama dengan pangkat tertinggi variabel x pada g(x), maka :
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x) bernilai positif, maka :
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x) bernilai negatif, maka :
Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) kurang dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x), maka :
Teorema Limit
, g(x) ≠ 0
, , untuk n bilangan genap
0,27182818
m < n, L = 0
m = n, L =
m > n, L =
Limit Fungsi Trigonometri
Rumus Praktisnya
Limit Fungsi Aljabar
Limit x mendekati tak hingga
Bentuk pecahan
Dimana n adalah pangkat tertinggi pembilang
m adalah pangkat tertinggi penyebut
Jika n > m, maka jawab
n < m, maka jawab 0
n = m, maka jawab
Bentuk akar
•
Perhatikan nilai a dan p!
Jika a = p, maka
a < p, maka -
a > p, maka +
•
Jika a = p, maka
•
Jika a = p, maka
•
Jika
Limit x mendekati bilangan tertentu
Jika p > q, maka jawab 0
p = q, maka jawab
p < q, maka jawab
Limit , maka substitusikan a ke fungsi. Jika hasilnya tak tentu (misal ), maka differensialkan. , kemudian substitusikan a ke fungsi yang telah terdifferensial tadi. Jika hasilnya masih tak tentu lagi jawabnya, maka differensialkan lagi seterusnya.
Limit Trigonometri
... dapat diganti sin atau tan
TURUNAN FUNGSI
Aturan fungsi
Turunan fungsi f(x) pada sembarang titik atau bilangan c adalah f(x) = dengan syarat limit ini ada
Aturan fungsi konstan
Jika f(x) = k, dengan k sebuah konstan maka untuk setiap x R berlaku f(x) = 0
Aturan fungsi identitas
Jika f(x) = x, maka : f(x) = 1
Aturan pangkat
Jika f(x) = axn, dengan a R, a ≠ 0, dan n bilangan asli, maka : f(x) = an∙xn-1
Aturan kelipatan konstanta
Jika f(x) = k ∙ u(x), dengan k suatu konstanta dan u(x) mempunyai turunan u(x), maka :
f(x) = k ∙ u(x)
Aturan jumlah dan selisih
Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai turunan f(x) dan g(x), maka :
(f g) (x) = f(x) g(x)
Aturan hasil kali
(f ∙ g) (x) = f(x) ∙ g(x) + f(x) ∙ g(x)
Aturan hasil bagi
Aturan rantai
f(x) = [u(x)]n, maka : f(x) = n ∙ [u(x)]n-1 ∙ u(x)
Aturan fungsi trigonometri
f(x) = sin x f(x) = cos x
f(x) = cos x f(x) = -sin x
f(x) = tan x f(x) =
Nilai maksimum dan minimum fungsi f dalam interval tertutup, yaitu a x b ditentukan dengan menentukan stasioner fungsi dalam interval tersebut. Misalkan diperoleh fungsi f stasioner di x1 dan x2, maka berlaku :
Nilai terbesar dari f(a), f(x1), f(x2), dan f(b) disebut nilai maksimum fungsi f dalam interval
a x b
Nilai terkecil dari f(a), f(x1), f(x2), dan f(b) disebut nilai minimum fungsi f dalam interval
a x b
Fungsi naik dan fungsi turun
f(x) naik jika f(x) > 0
f(x) turun jika f(x) < 0
Nilai stasioner
f(x) disekitar x = a
Titik balik maksimum
f(x) = 0
f(x) berubah tanda dari + ke –
f(x) < 0
Titik balik minimum
f(x) = 0
f(x) berubah tanda dari – ke +
f(x) > 0
Titik belok
f(x) = 0
f(x) tidak berubah tanda
f(x) = 0
Tabel rumus turunan
y = f(x) y = f(x)
sin x cos x
cos x -sin x
tan x sec2 x
cot x -cosec2 x
cosec x -cosec2 x ∙ cot x
sec x sec x ∙ tan x
sin ax a ∙ cos ax
cos ax -a ∙ sin ax
sin (ax + b) a ∙ cos (ax + b)
cos (ax + b) -a ∙ sin (ax + b)
sin u(x) u(x) ∙ cos u(x)
cos u(x) -u(x) ∙ sin u(x)
sinn u(x) n ∙ sinn-1 u(x) ∙ u(x) ∙ cos u(x)
cosn u(x) -n ∙ cosn-1 u(x) ∙ u(x) ∙ sin u(x)
alog h(x) ∙ alog e
ln g(x)
eh(x) h(x) ∙ eh(x)
ag(x) ag(x) ∙ g(x) ∙ ln a
ax ax ∙ elog a = ax ∙ ln a
Aturan rantai :
xn n ∙ xn-1
(u(x))n n ∙ (u(x))n-1
ex ex
sinh x cosh x
cosh x sinh x
ln x
alog x ∙ alog e
arc sin x
arc cos x
arc tan x
arc cot x
Rumus Praktisnya
Menentukan naik turunnya suatu fungsi
Jika f(x) = m = 0, maka (x1,y1) titik stasioner
Jika f(x) > 0, maka y = f(x) naik
Jika f(x) < 0, maka y = f(x) turun
Menentukan jenis nilai ekstrim suatu fungsi
y = f(x) maksimum di x = x1 bila f(x1) = 0 ; f(x1) < 0
y = f(x) minimum di x = x2 bila f(x2) = 0 ; f(x2) > 0
Menentukan titik belok
Jika (x1,f(x1)) merupakan titik belok f(x) apabila :
nilai f(x) di sekitar x = x1 titik berubah tanda, atau
f(x1) = 0
Nilai maksimum dan minimum
a + b = c
• jika ab = maks a = c
• jika ab2 = maks a = c
• jika a2b3 = maks a = c
• ab maks = c2
a – b = c
• jika ab = min a = c
• jika ab2 = min a = c
• jika a2b3 = min a = c
• ab min = - c2
Luas maksimum daerah yang diarsir = ab
Luas maksimum daerah yang diarsir = ab
INTEGRAL
Integral tak tentu
∫ f(x) dx = F(x) + c
∫ xn dx = ∙ xn+1 + c
∫ k ∙ f(x) dx = k ∙ ∫ f(x) dx
∫ [f(x) g(x)] dx = ∫ f(x) dx ∫ g(x) dx
∫ [u(x)]n ∙ u(x) dx = ∙ [u(x)]n+1 + c
∫ u dv = u ∙ v - ∫ v du
Integral tertentu
= F(b) – F(a)
= k ∙
=
=
= +
= 2 ∙ , apabila f(x) fungsi genap
= 0, apabila f(x) fungsi ganjil
Tabel rumus integral
∫ f(x) dx F(x)
∫ dx
ln x + c
∫ ln x dx x ∙ ln x – x + c
∫ ex dx ex + c
∫ ax dx + c
∫ sin x dx -cos x + c
∫ cos x dx sin x + c
∫ dx
tan x + c
∫ tan x dx ln sec x + c = -ln cos x + c
∫ cot x dx ln sin x + c
∫ cosec x dx ln cosec x – cot x + c = ln tan + c
∫ sec x dx ln sec x + tan x + c = ln tan ( + ) + c
∫ cosec2 x dx -cot x + c
∫ sec2 x dx tan x + c
∫ cosec x ∙ cot x dx -cosec x + c
∫ sec x ∙ tan x dx sec x + c
∫ sin ax dx - ∙ cos ax + c
∫ cos ax dx ∙ sin ax + c
∫ sin (ax + b) dx - ∙ cos (ax + b) + c
∫ cos (ax + b) dx ∙ sin (ax + b) + c
∫ sinn x ∙ cos x dx ∙ sinn+1 x + c
∫ cosn x ∙ sin x dx - ∙ cosn+1 x + c
∫ 2 ∙ sin ax ∙ cos bx dx ∙ cos (a + b)x - ∙ cos (a – b)x + c
∫ 2 ∙ cos ax ∙ sin bx dx ∙ cos (a + b)x + ∙ cos (a – b)x + c
∫ 2 ∙ cos ax ∙ cos bx dx ∙ sin (a + b)x + ∙ sin (a – b)x + c
∫ 2 ∙ sin ax ∙ sin bx dx ∙ sin (a + b)x + ∙ sin (a – b)x + c
∫ sin2 x dx - + c = (x – sin x ∙ cos x) + c
∫ cos2 x dx + + c = (x + sin x ∙ cos x) + c
∫ tan2 x dx tan x – x + c
∫ cot2 x dx -cot x – x + c
∫ sinh x dx cosh x + c
∫ cosh x dx sinh x + c
∫ tanh x dx ln cosh x + c
∫ coth x dx ln sinh x + c
∫ sech x dx 2 ∙ arc tan ex + c
∫ cosech x dx ln tanh + c
∫ sinh2 x dx - + c
∫ cosh2 x dx + + c
∫ tanh2 x dx x – tanh x + c
∫ coth2 x dx x – coth x + c
∫ sech2 x dx tanh x + c
∫ cosech2 x dx -coth x + c
∫ sech x ∙ tanh x dx -sech x + c
∫ cosech x ∙ coth x dx cosech x + c
∫ eax ∙ cos bx dx (a ∙ cos bx + b ∙ sin bx) + c
∫ eax ∙ sin bx dx (a ∙ sin bx - b ∙ cos bx) + c
∫
ln x + + c = arc sinh x + c
∫
ln x + + c = arc sinh + c
∫
ln x + + c = arc cosh x + c
∫
∙ arc sin + c
∫
sinh-1 + c
∫
cosh-1 + c
∫
arc sin x + c = -arc cos x + c
∫
-arc sin + c = -arc cos + c
∫
arc tan x + c = -arc cot x + c
∫
∙ arc tan + c = - ∙ arc cot + c
∫
arc sec x + c = -arc cosec x + c
∫
∙ arc sec + c = - ∙ arc cosec + c
∫
ln + c
∫
ln + c
∫
- ∙ arc sec + c = - ∙ arc cos + c
∫
- ∙ arc cosec + c = - ∙ arc sin + c
∫ dx
+ ∙ arc sin x + c
∫ dx
+ ∙ arc sin + c
∫ dx
+ c
∫ (x2 – a2) dx + c
Volume benda putar
Mengelilingi sumbu X
V = dx
Mengelilingi sumbu Y
V = dy
STATISTIKA
Ukuran Pemusatan
Data tunggal
Rata-rata (mean) : =
Median
• n ganjil Me =
• n genap Me =
Modus (paling sering muncul)
Kuartil (nilai yang membagi data terurut menjadi 4 bagian yang sama banyaknya)
Data berkelompok
Rata-rata : =
Kuartil : Qn = Ln + ∙ c ; dengan n = 1, 2, 3
Mo = Lo + ∙ c
Ukuran Penyebaran
Rataan kuartil = (Q1 + Q3)
Rataan tiga = (Q1 + 2 ∙ Q2 + Q3)
Rentang (jangkauan) : R = Xmax - Xmin
Hamparan (jangkauan antarkuartil) : H = Q3 – Q1
Simpangan kuartil : Qd = H = ( Q3 – Q1)
Variansi (ragam) : V = =
Simpangan baku : S = =
Simpangan rata-rata : Sr = =
Simpangan standar data : SS = ; KV = koefisien variansi
Koefisiensi kemiringan : KK =
Besar kontribusi : KP = x 100%
Persentil ke n : Pn = b + ∙ c
Koefisien kurtosis (kemiringan) =
Angka baku =
Mencari kesalahan mutlak dan prosentase kesalahan
Misalkan satuannya dalam cm, maka : ukuran terkecil = 0,1 cm
salah mutlak = x 0,1 = 0,5
Prosentase kesalahan = x 100%
BA = sisi maksimum = panjang sisi + 0,05
Keliling maksimum = 4 ∙ sisi maksimum
PELUANG
Notasi faktorial : n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ... x 3 x 2 x 1
Permutasi adalah cara penyusunan unsur-unsur dari sekumpulan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya. Permutasi dipakai jika dalam soal ada jabatan, urutan, rangking, predikat, cara duduk, susunan angka
Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia :
=
Banyaknya permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia :
= n!
Banyaknya permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat k unsur yang
sama :
P = ; k n
Permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama :
P = ; k, l, m n
Banyaknya permutasi siklis dari n unsur berbeda :
Psiklis = (n – 1)!
Banyaknya permutasi siklis dari n unsur berbeda, k berdampingan :
Psiklis = (n – k)!k!
Kombinasi adalah cara penyusunan unsur-unsur dari sekumpulan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutannya. Kombinasi dipakai jika dalam soal ditanyakan banyaknya himpunan bagian, peluang, urutan diabaikan
Banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia :
= ; r n
P(A) = ; A S
P(A) = 1 – P(A)
Frekuensi relatif suatu kejadian A : fr =
Frekuensi harapan : fh = P(A) x N
Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S, maka peluang kejadian A B :
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = P(A) + P(B) – P(A)∙P(B)
Jika A dan B masing-masing dua kejadian yang saling lepas, maka peluang gabungan dua kejadian saling lepas :
P(A B) = P(A) + P(B)
Jika A dan B kejadian-kejadian yang saling bebas : P(A B) = P(A) x P(B)
Peluang kejadian bersyarat
Peluang muncul kejadian A dengan syarat kejadian B muncul lebih dahulu adalah :
P(AB) = , dimana P(B) ≠ 0
Peluang muncul kejadian B dengan syarat kejadian A muncul lebih dahulu adalah :
P(BA) = , dimana P(A) ≠ 0
SUKU BANYAK
Pembagian suku banyak P(x) oleh suatu suku Q(x) dapat dituliskan sebagai berikut : P(x) = Q(x) ∙ H(x) + S(x), dimana H(x) merupakan hasil bagi dan S(x) adalah hasil pembagian
Teorema sisa
Jika Q(x) = ax + b, maka S(x) = k (konstanta)
Jika Q(x) = px + q dan Q(x) = ax3 + bx2 + cx + d, maka S(x) = px2 + qx + r
Teorema 1
Jika P(x) dibagi oleh (x – c), maka sisa pembagiannya P(c)
Teorema 2
Jika P(x) dibagi oleh (ax + b), maka sisa pembagiannya P( )
Teorema faktor
Teorema 3
Jika P(x) suku banyak dan P(c) = 0, maka (x – c) merupakan faktor dari P(x)
Beberapa pembagian istimewa
= x2 + ax + a2
= x2 – ax + a2
= x3 + ax2 + a2x + a2
= x3 - ax2 + a2x - a2
Aljabar Akar Suku Banyak
Jika x1, x2, dan x3 merupakan akar-akar dari persamaan polinom
ax3 + bx2 + cx + d = 0
maka :
x1 + x2 + x3 =
x1x2 + x2x3 + x1x3 =
x1 ∙ x2 ∙ x3 =
Jika x1, x2, dan x3 merupakan akar-akar dari persamaan polinom
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
maka :
x1 + x2 + x3 + x4 =
x1x2 + x1x3 + x1x4 +x2x3 + x2x4 + x3x4 =
x1 ∙ x2 ∙ x3 + x1 ∙ x2 ∙ x4 + x1 ∙ x3 ∙ x4 + x2 ∙ x3 ∙ x4 =
x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ x4 =
Tidak ada komentar:
Posting Komentar